Коэффициент рекуперации при теплообмене. Парадоксы теплообмена

Первая часть статьи «Коэффициент рекуперации при теплообмене» была опубликована в журнале «Мир климата» № 101. Первоначально планировалось завершить статью второй практической частью, состоящей преимущественно из расчетов коэффициентов рекуперации реальных теплообменных блоков и воздушных завес. Однако перед этим необходимо прояснить оставшиеся без внимания теоретические вопросы. Название этой части статьи обусловлено характером приведенных в ней закономерностей теплообмена, которые на первый взгляд не являются очевидными. Рассматриваемые темы не получили достаточного освещения не только в классических публикациях (3, [4]), но и в современных работах по развитию теории теплообмена. Все представленные в этой части статьи закономерности универсальны и являются важными для понимания смысла явлений передачи тепла. Они проявляют себя в любых аппаратах обмена теплом двух сред.

1. «Минимальное» качество теплообмена при разном расходе теплоносителей

В первой части было показано, что для равных расходов одинаковых сред при ɛ = 0,5 конечное состояние системы с термодинамической точки зрения будет обладать низшим из всех возможных вариантов качеством. А именно при ɛ = 0,5 энтропия конечного состояния системы максимально увеличится по сравнению с начальным состоянием, а при ɛ = 0 и ɛ = 1 энтропия вообще не изменится. При каком значении эффективности ɛ реализуется минимальное качество конечного состояния системы в общем случае произвольного соотношения расходов? Ответим на этот вопрос для двух сред равных теплоемкостей (рис. 1).

Приведем выражение секундного изменения энтропии ΔS [Вт/К] воздуха в рекуператоре. Температура уличного воздуха Tул, а его конечная температура Тпр. Температура комнатного воздуха Ткомн, а его конечная температура Tˈ. Пусть массовый расход притока превышает вытяжку в n раз. Тогда аналог соотношения (5), которое было получено в первой части для равных расходов (с — теплоемкость [Дж/кг·К], g — массовый расход вытяжки [кг/с]), примет вид:

ΔS = ΔSпр + ΔSвыт = n·с·g·ln(Tпр/Tул) + с·g·ln(Tˈ/Tкомн). (10)

Введем обозначения: Тул = Т, Ткомн = Т + ΔТ. Из приведенного определения коэффициента рекуперации (3), которое для условий превосходства притока можно переписать в виде

ε/n = (Тпр — Тул) / (Tкомн —Tул), (11)

получим Тпр = Т + ΔТ·ε/n. Из закона сохранения энергии найдем температуру вытяжного воздуха Тˈ= Т + ΔТ. Все полученные значения температур отразим на рис. 2.

Если температура притока меньше Т, то ΔТ нужно считать отрицательным. Подставляя все приведенные значения температур в (10), получим: ΔS = ΔSпр + ΔSвыт = с·g·ln(uv), где u = (Т + ΔТ·ε/n)n / Tn, v = (Т + ΔТ) / (Т + ΔТ). Для того чтобы найти ε, при котором ΔS имеет наибольшее значение, надо приравнять к 0 производную dS/dε. Так как с и g — константы, а логарифм — возрастающая функция, достаточно приравнять нулю производную (uv). Вычисления показывают, что (uv) максимально, когда

ε = n / (n + 1). (12)

Действительно, учитывая, что производная произведения (uv)ˈ= uˈv + uvˈ, для этих слагаемых получим: uˈv = uv·ΔТ / (Т + ΔТ·ε/n), uvˈ= — u·ΔТ / (Т + ΔТ). Отсюда следует, что (uv)ˈ= 0, когда (Т + ΔТ (1 — ε))·ΔТ = (Т + ΔТ·ε/n) ·ΔТ, что в свою очередь сводится к равенству ε = n/(n + 1).

Заметим, что вывод (12) справедлив для любых значений Т и ΔТ и для любых соотношений расходов. Из (12) следует, что если расходы (или в общем случае тепловые эквиваленты) сред различаются в 3 раза, то состояние с наибольшей конечной энтропией будет реализовываться при ε = ¾. Если же расходы различаются во много раз, то это состояние реализуется уже при ε достаточно близких к 1, то есть к своему возможному максимуму. Подтвердим представленные рассуждения примерами. Примем Т = 300К, ΔТ = 50К, то есть ΔТ/Т = 1/6, и пусть расход одного из теплоносителей превосходит расход другого в 10 раз. На графике 1 представим поведение частного для этого примера ΔS/cg (10) при всех возможных значениях ε. (ΔS — изменение энтропии системы при теплообмене.)

В другом случае примем Т = 300К, ΔТ = 200К, ΔТ/Т = 2/3, и пусть расход одного из теплоносителей превосходит расход другого в 3 раза. На графике 2 представим поведение частного ΔS/cg для указанных условий:

Чем больше увеличение энтропии при теплообмене, тем ниже качество этого обмена, так как этот обмен приближает систему к равновесному уровню. Возникает следующий парадокс: при разнице n в расходах теплоносителей минимальное качество теплообмена (больший рост энтропии) для всех ε реализуется при ε = n/(n + 1), что означает значения ε близкие к 1 при больших n. С другой стороны, по самому определению коэффициента ε, его значения, близкие к 1, определяют именно наивысшее возможное качество теплообмена. Низшее из возможных качество должно всегда реализовываться при ε = 0.

Устраним кажущееся противоречие. Теплообмен — это передача энергии, для рассмотренного случая она составляет ΔЕ = с·g·ε·ΔТ джоулей в секунду. (Это следует из приведенного выше расчета для температуры вытяжного воздуха, которая изменяется на εΔТ с учетом его расхода cg.) Качество теплообмена определяется изменением энтропии в расчете не на количество прокачанного теплоносителя, а на величину переданной при этом энергии. Приведем графики поведения ΔS/ΔЕ для примеров, рассмотренных выше. В них точное значение ΔS считается по формуле (10), а ΔЕ = с·g·ε·ΔТ. Для первого примера (ΔТ/Т = 1/6, n = 10) представим результаты на графике 3, а для второго (ΔТ/Т = 2/3, n = 3) на графике 4.

При увеличении ε качество теплообмена всегда растет, так как уменьшается прибавка энтропии в расчете на единицу переданной энергии.

2. При пропорциональном увеличении двух расходов эффективность ɛ всегда уменьшается

Пусть при некоторых начальных расходах двух необязательно одинаковых сред коэффициент рекуперации принимает значение ɛ0. Во сколько раз увеличится мощность теплообмена, если увеличить оба расхода в 3 раза? Для разных теплообменников при различных условиях этот рост может составить разные величины, но он никогда не сможет превысить 3. Так как мгновенная передача тепла в любых материалах (теплообменника) невозможна, то на каждую единицу массы теплоносителей при возрастании расходов будет передано меньше энергии. Соотношение (1), которое может быть представлено как:

ε = W / (сg)minΔT, (13)

позволяет заметить, что ε при таком росте расходов уменьшится. В то время, как (сg)min возрастет в 3 раза, мощность — в меньшее число раз. Математически этот факт можно выразить так: для каждого конкретного теплообменника существует функция его эффективности

ɛ = ɛ(g1, g2), (14)

и ε всегда уменьшается, если оба расхода вырастут в точно одинаковое число раз k:

ɛ(kg1, kg2) < ɛ(g1, g2) для любых k > 1. (15)

Это свойство теплообменных систем следует из определения (13). Оно настолько очевидно и соответствует установкам здравого смысла, что неясно, в чем здесь может заключаться парадокс? Напомним, что приведенные рассуждения справедливы только для пропорционального увеличения двух расходов, то есть обоих в 3 раза или обоих на 40% и т. д. Но что произойдет, если оба расхода увеличатся, но непропорционально, например, один на 40%, а другой в 3 раза? Ответим на этот вопрос в следующем пункте.

3. Как ведет себя ɛ при непропорциональном увеличении расходов?

Если в обмене участвуют среды разных теплоемкостей, то наименьший из двух тепловых эквивалентов (сg)min обычно обозначается Сmin, другой — Сmax (тогда n = Сmaxmin). В случае разных теплоемкостей, например, в (10) вместо ncg и cg нужно использовать Сmax и Сmin соответственно. Иногда Сmin и Сmax удобно измерять в единицах A·U, где A[м2] — так называемая средняя площадь теплообмена, а U[Вт/м2К] — обобщенный коэффициент теплопроводности теплообменника [3]. При непропорциональном росте расходов ɛ может или уменьшаться или расти. Покажем это на примере теплообменника с поперечным током [3], в котором оба потока не перемешиваются по мере течения. Этот случай, близкий теплообмену в воздушных завесах допускает удовлетворительное приближение ɛ от значений расходов. В безразмерных единицах эквивалентов можно представить:

ɛ = 1 — exp(CmaxCmin‑1,22[exp(—Cmax‑1Cmin0,22) — 1]) (16)

Отложим на графике 5 по оси абсцисс значения безразмерного расхода Сmax. Для каждой кривой представим значения ɛ для фиксированных значений Сmin. На этом графике рассмотрим несколько точек (Сmin; Сmax), Сmin определяет принадлежность к кривой, Сmax — значение по горизонтальной оси. Пусть точка 1 (0,5; 0,5) определяет начальное состояние теплообмена. При пропорциональном увеличении расходов (пункт 2) эффективность теплообмена уменьшится, точки 2(1; 1) или 3 (1,5; 1,5) действительно находятся ниже по вертикальной оси, что означает меньшие ε. Но если увеличивать расходы непропорционально, то эффективность может и уменьшиться 4(1; 2) и вырасти 5(0,7; 1,5).

Для прямотока или противотока формулы эффективности отличны от (16), но приводят к таким же качественным результатам: при произвольном увеличении расходов в теплообменной системе эффективность теплообмена может как расти, так и падать!

4. Изломы на графиках ɛ и большие значения при значительных разностях в расходах

Кроме указанной неопределенности есть и более существенные недостатки, которые обнаруживает поведение ɛ. Чтобы их продемонстрировать отложим по горизонтальной оси Графика 6 значения одного из безразмерных расходов С1, а для каждой из кривых представим значения ɛ для фиксированного значения С2 для того же вида теплообмена (16). Для каждой из представленных кривых существует особая точка-минимум, справа от которой С1 — это Сmax, а С2 — это Сmin, а слева С1 — это Сmin, а С2 — это Сmax.

График 6 демонстрирует, что когда один из расходов существенно меньше другого, значения ε всегда большие, они стремятся к 1. Кроме того, в точках, где оба расхода совпадают, находятся изломы кривых. Это принципиальное неудобство теории теплообмена, потому что такое поведение демонстрируют любые теплообменные системы. Связаны ли эти изломы с каким-либо физическим проявлением свойств теплообменных систем? Нет, при изучении закономерностей теплообмена или проведении экспериментов по определению мощности при теплообмене какие-либо точки, в которых происходят скачкообразные изменения, отсутствуют. При увеличении любого из расходов происходит всегда плавное увеличение мощности, а особенности поведения графиков обусловлены лишь определением коэффициента ɛ (13).

Возможно ли такое доопределение коэффициента ɛ, которое позволило бы избежать как неоднозначности его поведения, которую демонстрирует график 5, так и не связанных с физическим смыслом явлений изломов кривых (график 6)? Возможно ли избежать асимметрии в стандартном определении ɛ (13) относительно Сmin и Сmax?

Забегая вперед, отметим, что доопределение коэффициента эффективности, которое избавляет его от всех указанных недостатков, возможно. Чтобы определить его вид, необходимо будет вернуться к закономерности поведения величины ΔS/ΔЕ при теплообмене.

5. Как расширить определение ε?

Строго говоря, величина ΔS/ΔЕ при любом возможном теплообмене зависит от начальной температуры холодной среды Т и трех безразмерных параметров: ΔT/Т, ε и n. Когда ε = 0, то ΔS/ΔЕ всегда принимает значения Т‑1·(ΔT/Т)·(1 + ΔT/Т)—1 независимо от n. Это можно проверить переходом к пределу ɛ → 0 в (10), а именно раскрытием неопределенности 0/0 ln(uv)/(εΔТ) в нуле ɛ. (Следует отметить, что значение Т‑1·(ΔT/Т)·(1 + ΔT/Т)—1 при любых n в точности равно выработке энтропии в теплопроводящем стержне, который соединяет два тепловых резервуара с температурами Т и Т + ΔТ 5.) Далее, графики 3 и 4 демонстрируют почти линейное поведение при увеличении ɛ. Причем, при n = 1 (это было доказано в первой части статьи) с асимптотической точностью по параметру ΔT/Т можно представить:

ΔS/ΔЕ ≈ Т‑1·(ΔT/Т)·(1 + ΔT/Т)—1·(1 — ɛ), n = 1 (17)

То есть, график ΔS/ΔЕ — это почти прямая линия, которая при ɛ = 0 принимает наибольшее значение и уменьшается до 0 по мере роста ε до единицы. При очень больших n график демонстрирует приблизительно в 2 раза меньшее падение по мере роста ε. Как видно из примера, который приведен на графике 3 (ΔТ/Т = 1/6, n = 10), значения ΔS/ΔЕ при ɛ = 0 равно 4,76·10—4 и при ɛ = 1 равно 2,23·10—4. Если n равнялось бы 100 (ΔТ/Т = 1/6, n = 100), то при том же значении 4,76·10—4 для ɛ = 0, ΔS/ΔЕ примет значение 2,48·10—4 для ɛ = 1. То есть, наклон этой почти прямой линии уменьшается по мере роста n от 1 до очень больших значений на 48%, то есть приблизительно в 2 раза. И так происходит для всех малых и умеренных ΔТ/Т < 0,6. Следовательно, можно предположить:

ΔS/ΔЕ ≈ Т‑1·(ΔT/Т)·(1 + ΔT/Т)—1·(1 — ɛ/2), для больших n (18)

Для общего случая произвольных ɛ и n с учетом (17) и (18) можно предложить:

ΔS/ΔЕ ≈ Т‑1·(ΔT/Т)·(1 + ΔT/Т)—1·(1 — (1 + n‑1) ɛ/2). (19)

Эта формула переходит и в (17) и (18) в обоих предельных случаях n = 1 и n→∞. Формула (19) имеет два неоценимых достоинства. Во-первых, изменение энтропии представимо в виде произведения ΔS/ΔЕ = f1(Т, ΔT/Т)·f2(ε, n). А это означает принципиальную возможность (19) определить некоторый коэффициент для любой теплопередачи, независящий от температур. Напомним, что начальное выражение (10) такого разложения переменных на множители не допускает. А во‑вторых, и это самое важное, формула (19) симметрична относительно Сmin и Сmax, хотя в ее определении присутствует несимметричная величина ɛ. Покажем это, используя определение (13) и учитывая, что (сg)min обозначается Сmin. Тогда, если не рассматривать температурную часть, которая никакого отношения к Сmin и Сmax не имеет, получим:

(1 + n‑1) ɛ/2 = (1 + Сminmax)ɛ/2 = ½(1 + Сminmax)·W/(СminΔT) = ½(Сmin‑1 + Сmax‑1)·W/ΔT (20)

Наряду с этим (19) имеет и недостаток — это всего лишь приблизительное равенство. Насколько точно (19) приближает точное значение ΔS/ΔЕ (10) для умеренных значений температур? Пусть при теплообмене взаимодействуют среды с начальными температурами 5°С и 95°С, что ограничивает «бытовые» значения, тогда ΔT = 90К, Т = 278К и отношение ΔT/Т ≈ 0,324. В пункте 1 уже были представлены точные зависимости ΔS/ΔЕ для двух частных случаев: n = 10 и ΔT/Т ≈ 0,167 и для n = 3 и ΔT/Т ≈ 0,667. Заметим, что во втором случае интервал температур превосходит умеренные «бытовые» значения. На графике 7 продублируем график 3, а на графике 8 — график 4, но наряду с точным расчетом ΔS/ΔЕ представим и приблизительное выражение этой величины по формуле (19).

Из представленных графиков следует, что (19) удовлетворительно приближает ΔS/ΔЕ. Следовательно, входящий в это выражение симметричный относительно Сmin и Сmax аргумент, который не зависит от Т и ΔT может быть использован как характеристика термодинамической эффективности по крайней мере до ΔT/Т ≤ 0,6. Введем этот новый коэффициент ɛS, который можно назвать коэффициентом термодинамической (энтропийной) эффективности или симметричным коэффициентом эффективности теплообмена:

ɛS = (1 + n‑1) ɛ/2 = ½W(Сmin‑1 + Сmax‑1)/ ΔT (21)

Выражение (19) есть не что иное как (17), в которое вместо ɛ подставлено ɛS. Получив имеющее ясный физический смысл выражение ɛS, можно ожидать, что его зависимость от величин расходов будет лишена тех недочетов, которые были перечислены в пунктах 3 и 4.


Это действительно так. Представим аналоги графиков 5 и 6, на которых в тех же переменных будет показана зависимость не для ɛ, а для ɛS.

Из графика 9 видно, что и при произвольном увеличении любого из расходов ɛS может только уменьшаться. График 10 демонстрирует отсутствие точек излома и инверсного поведения кривых при уменьшении C1. График 10 также демонстрирует, что ɛS не стремится к 1 как ɛ при уменьшении одного из расходов до 0. Из определения ɛS также следует, что ɛS ≡ ɛ при Сmin = Сmax.

Выводы

В этой части статьи были рассмотрены парадоксы теории теплообмена. Было показано, что некоторые из них (например, парадокс качества теплообмена для произвольных n и ɛ) можно объяснить с позиции физики явлений теплопередачи. Другие же не относятся к физике явления теплопередачи, а являются следствием определения коэффициента эффективности ɛ. Они могут быть устранены введением скорректированного коэффициента. В статье был предложен вид (21) этого коэффициента ɛS, что исправило указанные шероховатости теории теплообмена. Автор ни в коей мере не пытается подвергнуть критике классическую теорию теплообмена, предложенною В. М. Кейсом и А. Л. Лондоном [3] в 1950х годах. Они проделали огромную работу, фактически построив на пустом месте теорию (ɛ-NTU), которая позволила провести множество расчетов, впервые сделать точные оценки для некоторых частных случаев и успешно используется до сих пор. И, конечно, автор отдает себе отчет, что не имело бы смысла искать симметричный коэффициент только ради симметрии и упорядочивания уже известных результатов, если бы метод расчета на основе ɛS не привел бы и к новым соотношениям. В последующих публикациях автор ознакомит читателей как с помощью ɛS возможно проводить простые точные оценки характеристик теплообмена. Будет представлено сравнение практических расчетов, используя как уже существующие методы, так и новый ɛS-метод.

Литература

1. Пухов А. В. Мощность тепловой завесы при произвольных расходах теплоносителя и воздуха. Интерпретация опытных данных // Мир Климата. 2013. № 80. С. 110.

2. Пухов А. В. Мощность тепловой завесы при произвольных расходах теплоносителя и воздуха. Инварианты процесса теплопередачи // Мир Климата. 2014. № 83. С. 202.

3. Кейс В. М., Лондон А. Л. Компактные теплообменники. М.: Энергия, 1967. С. 23.

4. Уонг Х. Основные формулы и данные по теплообмену для инженеров. М.: Атомиздат, 1979. С. 138.

5. Кадомцев Б. Б. Динамика и информация. // Успехи физических наук. 1994. Т. 164. № 5. С. 453.

наши проекты
  • АПИК
  • Университет климата
  • Выставка «Мир климата»
  • АПИК-тест