Закономерности теплообмена. Новый взгляд с позиций симметричной эффективности

А.В. Пухов
А.В. Пухов, технический директор
компании-производителя
воздушных завес Tropik-Line

В статье «Коэффициент рекуперации при теплообмене. Парадоксы теплообмена», опубликованной в журнале «Мир климата» № 103, представлены некоторые особенности поведения классического коэффициента эффективности ε, а также предложена форма симметричного коэффициента эффективности εS. В новой статье мы рассмотрим некоторые возможности использования свойств симметричного коэффициента для изучения общих закономерностей теплообмена. Прежде всего приведем основные формулы ε — NTU метода и их аналоги при использовании понятия симметричной эффективности.


1. Соотношения ε — NTU метода

Соотношения ε — NTU метода приведем в обозначениях, которые обычно используются в современных публикациях по теплообмену. Мощность q [Вт] обмена теплом сред 1 и 2 можно выразить так:

    (1.1)

    (1.2)

С1 и С2 [Вт/К] — так называемые тепловые эквиваленты сред, которые определяются произведениями массового расхода ṁ [кг/с] соответствующей среды на ее теплоемкость c [Дж/(кгК)], а │ΔT1│ и │ΔT2│[K] — взятые по модулю изменения каждой из температур сред 1 и 2 при теплообмене. В рамках метода ε — NTU безразмерный коэффициент эффективности теплообмена ε определяется как

    (1.3)

где Сmin — это наименьший из двух тепловых эквивалентов: Сmin = min{С1, С2}, а ΔT — абсолютное значение разности начальных температур двух сред. Это определение эффективности позволяет выразить мощность теплообмена q в виде произведения

    (1.4)

Как используются соотношения (1.3) и (1.4) на практике? Допустим, в помещении с температурой +15оС работает воздушная завеса с водяным источником тепла температурой +80оС и расходом 0,2 литра в секунду, воздушный расход завесы 3600 кубометров в час. Информация о значении эффективности (например, 0,39) данного теплообмена при этих условиях равносильна информации о значении его мощности. Подсчитаем С1 = c11= = 4,2 Дж/кгК · 0,2 кг/с = 0,84 Вт/К для воды и С2 = =c22 = 1,005 Дж/кгК · 1 м3/с · 1,2 кг/м3 ≈ 1,2 Вт/К для воздуха. Так как Сmin = 0,84 Вт/К и ΔT = 65 К, то (1.4) дает значение q ≈ 25,1 кВт. Вследствие линейности закономерностей теплопроводности и вынужденной конвекции по температуре ε не зависит от ΔT. Однако ε зависит от значений С1, С2 и устройства теплообменника. Для учета масштабирования теплообменных систем тепловые эквиваленты С1 и С2 в формулах для эффективности удобнее учитывать в виде относительных величин:

    (1.5)

Здесь A [м2] — так называемая средняя площадь теплообмена, а U [Вт/м2К] — обобщенный коэффициент теплопроводности теплообменника. С1,2 можно называть как относительными тепловыми эквивалентами, так и относительными расходами теплоносителей. Для теплообменника величины A и U имеют строгий физический смысл именно в виде их произведения AU [Вт/К]. В пределе бесконечно больших расходов двух теплоносителей мощность этого теплообменника будет выражаться так:

    (1.6)

Таким образом, величина AU как характеристика любого теплообменника выступает в двух качествах. Она определяет мощность теплообмена при очень больших расходах (1.6) и сами характерные расходы: при С1,2 ≈ AU, С1,2 ≈ 1. В ε — NTU методе используются не значения двух относительных расходов (1.5), а обратное значение минимального относительного расхода, которое носит название NTU (number of transfer units):

    (1.7)

и отношение минимального и максимального эквивалентов:

    (1.8)

NTU и С* определяют функцию эффективности ε = ε (NTU, C*), которая для каждого теплообменника (например, воздушной завесы или радиатора охлаждения в автомобиле) своя. Для полной характеристики любого теплообменника достаточно наряду с произведением AU знать ее значения. Для некоторых элементарных типов теплообмена, например параллельного (обозначим его ↑↑) и встречного (↑↓) известен точный вид ε:

    (1.9)

    (1.10)

При перекрестном теплообмене может быть реализовано множество возможностей: каждый из двух потоков по мере прохождения теплообменника может либо перемешиваться по своему поперечному сечению, либо нет. Причем мера перемешивания также может различаться. Возможны варианты перекрестных теплообменов со встречными или параллельными компонентами течений. Общей формулы ε для перекрестного теплообмена, кроме простых частных случаев, не найдено. Чтобы завершить краткое представление ε — NTU метода укажем, что ε и C*могут принимать значения от 0 до 1, а NTU — от 0 до ∞.

2. Обобщение ε — NTU метода. Симметричная эффективность εS

Поясним, что такое коэффициент симметричной эффективности εS и чем он отличается от эффективности ε. Можно сказать, что эффективность ε выражает меру обмена температурами для двух участвующих в теплообмене сред. В пределе ε = 1 одна из сред полностью принимает начальную температуру другой.

Но можно рассматривать теплообмен как производство энтропии. Тогда высокоэффективными следует считать обмены, при которых энтропия увеличивается незначительно или сохраняется, а низкая эффективность соответствует большому возрастанию энтропии. Чтобы от качественных рассмотрений перейти к формулам новой эффективности, необходимо сделать уточнение: эффективность выражается мерой изменения энтропии по отношению к переданной при этом энергии. Предположим, что в каждой из двух систем их энтропия за 1 секунду возрастает на 0,1 Дж/К,но в одной системе при этом передается мощность 1 Вт, а в другой — 100 кВт. Очевидно, что эффективность второй системы должна быть несравнимо выше. Естественно считать, что при относительном изменении энтропии, равном 0, эффективность должна быть максимальна и равна 1. А для случаев максимального увеличения относительной энтропии эффективность должна равняться 0. Какова же величина этого максимально возможного увеличения? Относительное увеличение энтропии для двух взаимодействующих сред с температурами Т1 и Т2 никогда не может превышать некоторый предел:

    (2.1)

Образно говоря, (2.1) описывает «самые плохие» случаи теплообменов из всех возможных. Будем считать εS = 0 всегда, когда выполняется (2.1) и εS = 1 при условии ΔS/ΔE = 0, а при промежуточных значениях ΔS/ΔE эффективность εS принимает пропорциональные промежуточные значения. Тогда эффективность εS, учитывая, что │Т1 — Т2 │ = ΔТ, можно представить так:

    (2.2)

Переданная в единицу времени энергия — это мощность теплообмена q. Разделив числитель и знаменатель дроби в (2.2) на малый интервал времени dt, в знаменателе получим мощность, а в числителе — скорость изменения энтропии ΔṠ:

    (2.3)

Это и есть искомое определение эффективности εS как меры изменения энтропии системы. Сравним его с определением эффективности ε (1.3). На первый взгляд это совершенно разные выражения: в каждом из них присутствуют q и ΔТ, но на этом сходство завершается. В (1.3) присутствует также абсолютное значение минимального теплового эквивалента Сmin, а в (2.3) ΔṠ, Т1, и Т2 — скорость изменения энтропии теплообменной системы и абсолютные значения начальных температур двух сред. Кроме этого, в (1.3) q и ΔТ входят в виде их частного, а в (2.3) — в виде их произведения. Тем не менее если рассчитать скорость суммарного изменения энтропии двух сред при теплообмене, то эти два различных на первый взгляд определения оказываются связанными [1]. В терминах ε — NTU метода:

    (2.4)

Для вывода (2.4) автором использовалась лишь умеренная малость ΔТ — стандартное предположение применимости ε — NTU метода. Если в (2.4) подставить определение ε (1.3), получим:

    (2.5)

Тепловые эквиваленты входят в (2.5) симметрично, поэтому εS естественно назвать симметричной эффективностью теплообмена. Введем обозначение СRM (RM — средний, в смысле обратного значения, reversed mean). Тогда:

    (2.6)

    (2.7)

и выражение для мощности через εS есть

    (2.8)

Выражения (2.6), (2.8) — это аналоги (1.3), (1.4). Из них следует, что εS ≤ ε, причем равенство выполняется только при равных тепловых эквивалентах двух сред. Покажем, как можно использовать εS для изучения теплообмена. Какие новые свойства теплообмена и его соотношений он поможет проявить?

3. Критерии оптимального теплообмена

Значения C1 и C2 буквально показывают, насколько они велики или малы для данного теплообменника. Если они близки к 1, то расходы средние, если заметно превосходят 1, например равны 3 или 5, то большие. То же и с малыми расходами. Однако ε — NTU метод не дает указаний на особые значения относительных расходов, связанные с целесообразностью использования теплообменников.

В статье «Коэффициент рекуперации при теплообмене. Парадоксы теплообмена» («Мир климата» № 103) было показано, что в отличие от ε, поведение нового коэффициента εS при изменении расходов более предсказуемо в следующем смысле. Допустим, что имеется любая теплообменная система при определенных расходах, которые соответствуют значениям тепловых эквивалентов C1 и C2. Если увеличить любой из них, то мощность теплообмена q всегда возрастет, а εS уменьшится, и напротив, уменьшение любого из расходов или обоих сразу приводит к уменьшению мощности и одновременному увеличению эффективности. Таким образом, варьирование расходов при теплообмене всегда приводит либо к передаче большей мощности при меньшей эффективности передачи, либо к передаче меньшей мощности при более высокой эффективности передачи. Различные области расходов при теплообмене можно рассматривать как компромисс между мощностью и эффективностью.

Однако в области малых тепловых эквивалентов для всех типов теплообмена, за исключением параллельного, εS (С1) все же может возрастать при некоторых фиксированных значениях С2. Для встречного теплообмена, эффективность которого задается (1.10), симметричную эффективность можно рассчитать по (2.4). В таблице для некоторых значений максимального относительного расхода Сmax представим такие значения минимального расхода С0, в которых εS (2.4) имеет максимум, и сами значения этих максимумов. При Сmin > С0 εS является убывающей функцией Сmin, то есть демонстрирует обычное поведение, описанное ранее. Но при Сmin < С0 симметричная эффективность теплообмена εS будет возрастать при увеличении Сmin от 0 до С0.

Таблица 1. Максимумы εS и значения одного из эквивалентов С0, при которых они достигаются

Cmax

0,1

0,2

0,3

0,5

0,7

0,9

1,0

5,0

C0

0,097

0,179

0,238

0,297

0,311

0,308

0,303

0,198

S

0,910

0,837

0,780

0,700

0,650

0,617

0,605

0,516

Таким образом, при расходах Сmin > С0 компромисс мощность или эффективность соблюдается. При уменьшении значений Сmin ниже некоторых пороговых значений (обычно меньше 0,3) начинают уменьшаться как мощность, так и эффективность. Проиллюстрируем эти рассуждения (график 1):

На графике 1 схематично представлены симметричная эффективность и мощность. Отчетливо видна область расходов (справа от пунктирной линии), в которой меньшая эффективность сочетается с большей мощностью и наоборот. При малых расходах обе величины снижаются, причем мощность — заметно.

Симметричная эффективность εS, таким образом, позволила продемонстрировать достаточно тонкий эффект одновременного падения мощности и εS для всех типов организации потоков (кроме строго параллельного) для малых Сmin. Можно сказать, что если оба относительных расхода превышают 0,4, то теплообмен не является заведомо неоптимальным. Определение ε не позволяет заметить этот эффект — оно не демонстрирует никаких особенностей при значениях тепловых эквивалентов менее 0,3. При очень малых расходах любого из теплоносителей ε → 1 в любых теплообменниках, так как происходит полное принятие медленно текущей средой начальной температуры другой среды. Кроме того, каждая из кривых ε имеет один минимум, но он характеризует не физику теплообмена, а всего лишь указывает на равенство двух тепловых эквивалентов в этой конкретной точке (график 2).

Графики 1 и 2 демонстрируют разные интерпретации явления передачи мощности q — с помощью новой симметричной (график 1) и обычно применяемой эффективностей (график 2).

4. Условие для формул эффективности симметричных теплообменников

Предложенное понятие симметричной эффективности теплообмена предоставляет необходимое условие истинности формул эффективности тепло­обмена для всех геометрически симметричных теплообменников. Их симметрия может быть любого типа: относительно поворота, сдвига, зеркальная, а также их комбинации. Действительно, мощность q для симметричных теплообменников не изменит своего значения, если среду 1 с соответствующим расходом направить по пути среды 2, и наоборот. Это соответствует симметрии q относительно перестановки индексов двух сред: q(C1, C2) = q(C2, C1). Множитель (1/C1 + 1/C2) — также симметричен относительно C1 и C2. Тогда из (2.5) следует и симметричность выражения εS относительно перестановки индексов 1 и 2. Проверим несколько известных выражений на это условие. Например, для уже приведенных выше случаев параллельного и встречного токов (1.9) и (1.10) можно получить выражения для εS, используя (2.4):

    (4.1)

    (4.2)

Выражения (4.1) и (4.2) симметричны относительно перестановки индексов: если в них все C1 заменить на C2, а все C2 — на C1, то значения εS не изменятся. Приведем другие соотношения ε — NTU метода для симметричных случаев. Для перекрестных теплообменов, когда либо оба теплоносителя перемешаны (mixed), либо оба не перемешаны (unmixed) по своим поперечным сечениям, используются [2] следующие формулы для ε:

    (4.3)

    (4.4)

Если (4.3) умножить на ½(1 + С*), то полученное выражение для εS

    (4.5)

также является симметричным относительно перестановки индексов. Однако (4.4), умноженное на ½(1+ С*), невозможно даже выразить через C1 и C2, так как его представление несимметрично относительно Сmin и Cmax. Из этого следует, что формула (4.4) в отличие от (1.9), (1.10) и (4.3) не может быть точной. Она не может служить выражением эффективности ни для каких симметричных блоков. Критерий, предложенный в этом пункте, позволяет проводить проверку формул для любых геометрически симметричных теплообменников. Отметим, что этот критерий является необходимым, но недостаточным условием истинности выражений для эффективности.

5. Единое выражение для эффективности геометрически несимметричных теплообменников

Если повторить рассуждения предыдущего пункта для геометрически несимметричных теплообменников (воздушной завесы, радиатора автомобиля и других), то из неравенства q(C1, C2) ≠ q(C2, C1) следует, что при замене в εS индексов сред значение εS изменится. Тем не менее это выражение для εS всегда можно получить по (2.5), зная либо точное выражение для мощности в некоторых простых случаях, либо аппроксимацию полиномом с требуемой точностью по некоторым точкам измерения.

Иная ситуация наблюдается, если выражать стандартный коэффициент ε. Из-за необходимости учета пути минимального эквивалента для несимметричного теплообменника случаи, когда минимальный эквивалент протекает через один или другой вход, оказываются разными задачами —их решения совпадают только на линии двух равных эквивалентов. В качестве примера можно привести пример теплообменника поперечного тока, в котором один из потоков полностью перемешивается по своему поперечному сечению, а другой совсем не перемешивается. Если меньший эквивалент поступает по пути, который не перемешивается, то эффективность теплообмена имеет вид

    (5.1)

Если поток, перемешанный по поперечному сечению, имеет минимальный тепловой эквивалент Cmin то, как указано выше, для ε — NTU метода это другая задача с решением

    (5.2)

В терминах симметричной эффективности оба случая являются единой задачей с одним решением. Используя (2.4), вычислим для (5.1) коэффициент симметричной эффективности:

    (5.3)

который несимметричен по C1 и C2, поэтому нужно указать, какой индекс соответствует определенной характеристике потока. В (5.3) индекс 1 обозначает поток, который не перемешивается. Если вычислить коэффициент симметричной эффективности для (5.2), то, как и следует ожидать, также получим выражение (5.3). Таким образом, выражения для εS справедливы для всех областей расходов при теплообмене и в несимметричных блоках. Существование решений для εS независимо от значений расходов и организации теплообмена демонстрирует более общий характер интерпретации теплообмена, который достигается с помощью коэффициента εS.

Выводы

В статье на известных примерах показано, как понятие симметричной эффективности позволяет обращаться с формулами ε — NTU метода. Такие же преобразования можно проводить и с самостоятельно полученными формулами для их проверки или расширения их области действия. Приведенные способы использования εS не ограничивают поле его применения. С помощью симметричной эффективности можно с высокой точностью производить расчеты мощности непосредственно, даже не имея информации о явном виде зависимостей ε = ε (NTU, C*). С примерами подобных расчетов автор собирается познакомить читателей в следующих публикациях.

Литература

1. Пухов А. В. Коэффициент рекуперации при теплообмене. Парадоксы теплообмена // Мир Климата. 2017. № 103.

2. Кейс В. М., Лондон А. Л. Компактные теплообменники. М.: Энергия, 1967.

3. Ramesh K. Shah and Dušan P. Sekulic. Fundamentals of Heat Exchanger Design. Copyright © 2003 John Wiley & Sons, Inc.

А. В. Пухов, технический директор
компании — производителя воздушных завес Tropik-Line

наши проекты
  • АПИК
  • Университет климата
  • Выставка «Мир климата»
  • АПИК-тест